情之所至,甘之如饴

潜水一段时间,最近终于要开始写一写了呢。

七八月份发生了许多大事,对于竞赛生们来说,一件非常令人高兴的事情,莫过于今年五大国际学科竞赛中国队均取得了优异成绩。在IMO中,中国队重新登上世界巅峰,取得了团体总分并列第一的傲人成绩,扬眉吐气!

从国际形势来看,大国博弈更是风云乍起。同时这也预示着,在接下来的10-20年间,重视数学、物理、化学、生物等基础科学者,将行稳致远。于是今天就来写一写数学。

九层高台,起于累土

先来复习一下两个十分基础的不等式:

均值不等式

适用范围:正实数

可以略写为$H_n\le G_n\le A_n\le Q_n$,

即:调和平均值$\le$几何平均值$\le$算术平均值$\le$平方平均值.

柯西不等式

适用范围:实数

也有扩展版的“大柯西不等式”,这个以后会写到。

从一道不等式问题谈起

我们来看这样一道问题:

设实数$x,y\in[0,1]$, 求$\frac{x}{1+y}+\frac{y}{1+x}+(1-x)(1-y)$的最小值.

起初来看,似乎很难看出端倪。不过,至少这个式子具有对称性,这是个不错的条件。

在这里,我们不妨设$x+y=a$,$xy=b$.

这样原式就可以写为$\frac{a^2+a-2b}{a+b+1}+1-a+b$.

通分化简,得原式=$\frac{a^2+a-2b+(a+b+1)(-a+b+1)}{a+b+1}$.

也就是$\frac{a+b^2+1}{a+b+1}$.

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