书海扬帆的博客

题意

现有一个$n$行$m$ 列的棋盘,一只马欲从棋盘的左上角跳到右下角。每一步它向右跳奇数列,且跳到本行或相邻行。跳越期间,马不能离开棋盘。例如,当$n = 3, m = 10$ 时,下图是一种可行的跳法。

img

试求跳法种数$mod\ 30011$。

解法

本题为采用矩阵速幂优化的动态规划,首先需要想出朴素的转移方程。

10pts: 朴素做法

我们用$dp[i][j]$表示超级跳马跳到$(i,j)$的总方案数,这样最终只需求出$dp[n][m]$即可。

考虑马能从什么地方跳到$(i,j)$。根据题目条件,从行和列的角度分别考虑。

首先考虑行。第$i$行,第$i+1$行和第$i-1$行都可以跳到第$i$行。

接着考虑列,只要是和第$j$列相差奇数列的列都可以跳到第$j​$列。因此

如果我们直接用朴素的循环计算,复杂度为$O(nm^2)$,只能得到10分,因此考虑在计算过程中优化。

50pts:前缀和优化

100pts:矩阵快速幂

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1005;
int d[maxn][maxn];
int t[maxn],w[maxn];
int time1,m,ans=-1;
int main()
{
scanf("%d%d",&time1,&m);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d",&t[i],&w[i]);
}
for(int i=1;i<=m;i++)
for(int j=1;j<=time1;j++)
{
d[i][j]=d[i-1][j];
if(t[i]<=j)
d[i][j]=max(d[i][j],d[i-1][j-t[i]]+w[i]);
}
for(int i=1;i<=time1;i++)
ans=max(ans,d[m][i]);
printf("%d\n",ans);
}
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/*
Author: 书海扬帆
Lang: C++
Prog: 区间dp.cpp
Mail: me@ljhedp.cn
Blog: www.ljhedp.cn
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <stack>
#include <queue>
#include <vector>
#include <iomanip>
#include <climits>

using namespace std;
const double eps=1e-8;
const double pi=acos(-1.0);
const int INF=2147483647;
typedef long long ll;
template<class T>void read(T &x) {
register int c = getchar(), f = 1;
x = 0;
while(!isdigit(c)) {
if (c == '-') f = -1;
c = getchar();
}
while(isdigit(c)) x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
x *= f;
}
int n,a[1050],mn,mx;
int f1[1050][1050],f2[1050][1050],sum[1050];
int CF(int i,int j) {
return sum[j]-sum[i-1];
}
int main() {
#ifdef win32
#define %lld %I64d
#endif
//f[i][j]=max(f[i][p]+f[p+1][j]+CF[i][j];
read(n);
for(int i=1;i<=n;i++) {
read(a[i]);
a[n+i]=a[i];
}
for(int i=1;i<=2*n;i++) sum[i]=sum[i-1]+a[i];
//断环为链 预处理前缀和
for(int k=1;k<n;k++) {
for(int i=1,j=i+k;j<2*n && i<2*n;i++,j=i+k) {
f2[i][j]=INF;
for(int p=i;p<j;p++) {
f1[i][j] = max(f1[i][j], f1[i][p]+f1[p+1][j]+CF(i,j));
f2[i][j] = min(f2[i][j], f2[i][p]+f2[p+1][j]+CF(i,j));
}
}
}
mn=INF;
for(int i=1;i<=n;i++) {
mx=max(mx,f1[i][i+n-1]);
mn=min(mn,f2[i][i+n-1]);
}
printf("%d\n%d\n",mn,mx);
return 0;
}
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#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
long long f[220][220]={1},sum[220][220],n,m,k;
char a[1010],b[220];
int main() {
scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k);
scanf("%s",a);
scanf("%s",b);
for(long long i=1;i<=n;i++)
for(long long j=m;j>=1;j--)
for(long long t=k;t>=1;t--)
f[j][t]=(f[j][t]+(sum[j][t]=a[i-1]==b[j-1]?sum[j-1][t]+f[j-1][t-1]:0))%1000000007;
printf("%lld\n",f[m][k]);
return 0;
}
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#include <iostream>
#include <string.h>
#include <string>
using namespace std;

int dp[110][110];
int main() {
string a,b;
memset(dp,0,sizeof(dp));
cin>>a>>b;
int lena=a.size();
int lenb=b.size();
for(int i=1;i<=lena;++i)
{
for(int j=1;j<=lenb;++j)
{
if(a[i-1]==b[j-1])
{
dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
}
else
{
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
}
}
}
cout<<dp[lena][lenb]<<endl;
return 0;
}
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// n^2 和 nlgn 的最长上升子序列

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
int dp[101000],a[101000],n;
int LIS_nlgn()
{
int len=1;
dp[1]=-a[1];
for(int i=2;i<=n;++i)
{
if(-a[i]>=dp[len]){
dp[++len]=-a[i];
}
else {
int pos=upper_bound(dp+1,dp+len,-a[i])-dp;
dp[pos]=-a[i];
}
}
return len;
}
int main() {
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;++i)
{
cin>>a[i];
}
cout<<LIS_nlgn()<<endl;
return 0;
}
​```cpp

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实现伪代码:

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for 所有的组k
for v=V..0
for 所有的i属于组k
      f[v]=max{f[v],f[v-w[i]]+c[i]}

第一次写分组背包,继续加油吧~

代码实现:

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#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>

using namespace std;
const int maxn=1010;
int n,m;
int dp[maxn],a[maxn],b[maxn],c[105][1010],p[105],cnt,opt;
int main() {
scanf("%d%d",&m,&n);
for(int i=1;i<=n;i++) {
scanf("%d%d%d",&a[i],&b[i],&opt);
cnt=max(cnt,opt);
c[opt][++p[opt]]=i;
}
for(int i=1;i<=cnt;i++) {
for(int j=m;j>=0;j--) {
for(int k=1;k<=p[i];k++) {
if(j>=a[c[i][k]])
dp[j]=max(dp[j],dp[j-a[c[i][k]]]+b[c[i][k]]);
}
}
}
printf("%d\n",dp[m]);
return 0;
}

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解题思路

转化为一般的01背包进行求解,最后枚举体力,当目前填的体积>=应该填的体积时,输出最大的体力值。

代码分享

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#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>

using namespace std;
const int maxn=1001000;
int V,N,C;
int dp[maxn],d[maxn],v[maxn];
//d 价值 v体积
int main() {
scanf("%d%d%d",&V,&N,&C);
for(int i=1;i<=N;i++) {
scanf("%d%d",&v[i],&d[i]);
}
for(int i=1;i<=N;i++) {
for(int j=C;j>=d[i];j--) {
dp[j]=max(dp[j],dp[j-d[i]]+v[i]);
}
}
for(int i=1;i<=C;i++) {
if(dp[i]>=V) {
printf("%d\n",C-i);
return 0;
}
}
printf("Impossible");
return 0;
}

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解题思路

带有约束条件(音量)的背包问题。与原有的背包模型大同小异,只需考虑约束即可。
感觉背包是类套路题,只缘身在此山中。

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#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>

using namespace std;
int n,begin,mx;
int a[60];
const int maxn=2018;
int dp[maxn][maxn];
void Work() {
scanf("%d%d%d",&n,&begin,&mx);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
dp[0][begin]=1;
for(int i=1;i<=n;i++) {
for(int j=0;j<=mx;j++) {
if(dp[i-1][j]) {
dp[i][j+a[i]]=1;
dp[i][j-a[i]]=1;
}
}
}
for(int i=mx;i;i--) if(dp[n][i]) {
printf("%d",i);
return;
}
printf("-1");
return;
}
int main() {
Work();
return 0;
}



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